Two and One

引言

经历了一些对未来选择的思考之后，最近在了解 mlsys 相关的内容，本文即为对 TP 的理解和总结，目前网上已经有大量的博文详细介绍了 TP 的实现细节，本文主要是为了自己未来查阅方便而写的文章，欢迎大家指正。

TP简介

Tensor Parallelism 是在 DP, MP 之后提出的一个方法，由 Magatrion-LM 首创。其出发点在于 DP, MP 仍然需要单卡在计算时凑齐一个完整的 layer 的参数和各种激活值、梯度、优化器状态，当一个 layer 过大的时候，单卡就放不下了。
而 Tensor Parallelism 将模型的计算拆成分布式的了，使得一层能够分布于不同卡上进行计算。

Transformer-like model

一个经典的 Transformer 模型的架构大致如下图：

可以看到，一个 layer 主要由 Attention 和 MLP 层组成， TP 的关键优化点也就是在这两层上，下面将具体说明。

MLP

我们先从 MLP 层开始，简而言之，一个 MLP 层的数学描述大致这样：

$$\mathrm{Out}=\mathrm{Dropout}(\mathrm{GeLU}(X{W}_1)W_2)$$

其中：

$$\begin{array}{rlrl}X& :(B,S,d_{\text{model}})W_1& :(d_{\text{model}},d_{\text{ff}})W_2& :(d_{\text{ff}},d_{\text{model}})\end{array}$$

一般来说，$d_{\text{ff}}=4\times d_{\text{model}}$

我们先考虑不进行 TP ，仅仅进行单卡计算：

单卡forward

参数量：

$$\begin{array}{rlrl}{W}_1& :d_{\text{model}}\times d_{\text{ff}}{W}_2& :d_{\text{ff}}\times d_{\text{model}}\text{总参数}& :8d_{\text{model}}^2\end{array}$$

计算量：

$$\begin{array}{rlr}& \text{两个矩阵乘均贡献 }2\times B\times S\times d_{\text{model}}\times d_{\text{ff}}& \mathrm{FLOPS}=16\times B\times S\times d_{\text{model}}^2\end{array}$$

激活量：在 backward 里考虑。

单卡backward

首先对 dropout 反向：

$$\frac{\partial L}{\partial Z}=\frac{\partial L}{\partial \mathrm{Out}}\odot \frac{\mathrm{mask}}{1-p}$$

这一步的 FLOPS 差一个数量级，可忽略不计，另外使用 $LX$ 表示 $\partial L/\partial X$。

然后对 $W_2$ 进行反向：

$$\begin{array}{rlr}L{W}_2& =A^T\cdot LZLA& =LZ\cdot W_2\end{array}$$

其中 $A=\mathrm{GeLU}(\cdots )$。

这一步的 FLOPS 为 $2\times (2\times BS,d_{\text{model}},d_{\text{ff}})=16,BS,d_{\text{model}}^2$

GeLU 的 FLOPS 几乎也可以忽略不计。

然后对 $W_1$ 进行反向，几乎与 $W_2$ 相同。

因此整个过程的 FLOPS 为 $32,BS,d_{\text{model}}^2$，为前向传播的两倍。

然后我们从激活值占用角度分析，在没有梯度检查点的情况下，我们有：

X (BS, d_model) use for compute L_W1
H = XW_1 (BS, d_ff) use for compute the gelu 
A = GeLU(H) (BS, d_ff) use for compute L_W2 
Dropout mask(BS, d_model) use for Dropout

TP forward

我们进行这样的切分方式：

W_1 -> (W_11, W_12, W_13, ... W_1n) # W_1i: (d_model, d_ff / n) 

这样我们在输入 X 的时候全部注入，然后得到：

H -> (XW_11, XW_12, XW_13, ... XW_1n) # XW_1i: (B, S, d_ff / n)

值得注意的是，我们选择按列切分 $W_1$ 使得我们得到的结果是可以独立通过 gelu 的，省去了这一步通信的麻烦。

之后考虑 $W_2$

我们选择将 $W_2$ 进行这样的切分：

W_2 -> [
 W_21, 
 W_22, 
 W_23, 
...
 W_2n 
]

之后，显然我们现在可以每张卡计算XW_11 @ W_21，而且他的形状就是最后矩阵的形状，
因此，我们算出来然后最后采用 all reduce 就可以得到最后结果啦。

ok ，我们现在对这整个过程进行分析：

• 参数量：
  显然，我们现在把所有参数分散到了多卡上，而且分散均匀，

$$\begin{array}{rlrl}{W}_1& :d_{\text{model}}\times d_{\text{ff}}{W}_2& :d_{\text{ff}}\times d_{\text{model}}\text{总参数}& :8d_{\text{model}}^2/n\end{array}$$

• 计算量：

$$\begin{array}{rlr}& \text{两个矩阵乘均贡献 }2\times B\times S\times d_{\text{model}}\times d_{\text{ff}}/n& \mathrm{FLOPS}=16\times B\times S\times d_{\text{model}}^2/n\end{array}$$

但是这里还要考虑一个问题，就是最后 reduce-all 操作还要对所有激活值进行累加，但是这部分数量级过小，可忽略。

• 激活量：在 backward 里考虑。

TP backward

在每张卡上的前向是：

$$Z^i=\mathrm{GeLU}(X{W}_1^i)W_2^i,\text{AllReduce}\to Z=\sum _i{Z}^i$$

由于 AllReduce 之后每张卡上的 Z 完全相同，所以上游传回的梯度也完全一样，不需要额外通信。

此后，每一步的计算基本上与单张卡相同，但是要除以 $N$。

因此，每张卡的反向 FLOPS 为：

$$\mathrm{FLOPS}=32\times BS,d_{\text{model}}^2/N$$

然后，之后需要注意的是我们在反向传播的最后仍然需要一步 all-reduce ，因为我们此前计算的都是独立的梯度。

激活值的占用：我们有：

X (BS, d_model) use for compute L_W1
H = XW_1 (BS, d_ff / N) use for compute the gelu 
A = GeLU(H) (BS, d_ff / N) use for compute L_W2 
Dropout mask(BS, d_model) use for Dropout

Attention

单卡forward

输入数据：

X (B, S, d_model) 
X_h (B, S, h, d_head) W_Q (h, d_head, d_Q) W_K (h, d_head, d_K) W_V(h, d_head, d_V)
# 注意到在单卡情况下我们这一步计算 Q, K, V 通常不做维度划分，但可以这么理解，方便后续对 TP 的理解
Q (B, S, h, d_Q) K (B, S, h, d_K) V (B, S, h, d_V)
Q @ K.transpose -> S (B, h, S, S)
S @ V -> (B, h, S, d_V)
reshape -> (B, S, h *d_V)

# 接着引入一个 W_O: (h * d_V, d_model)
O (B, S, d_model)

ok ，对整个过程清晰之后我们便可以分析其各个指标：

参数量：

$$\begin{array}{rlrl}{W}_Q& :h\times d_{\text{head}}\times d_Q{W}_K& :h\times d_{\text{head}}\times d_K{W}_V& :h\times d_{\text{head}}\times d_V\end{array}$$

通常来说这几个都相等，所以总参数为 $4d_{\text{model}}^2$。

计算量：

操作	形状	FLOPS
$X\to Q,K,V$	$(BS,d_{\text{model}})\times (d_{\text{model}},d_{\text{model}})$	$6,BS,d_{\text{model}}^2$
$Q{K}^T\to S$	$(B,h,S,d_{\text{head}})\times (B,h,d_{\text{head}},S)$	$2,B{S}^2{d}_{\text{model}}$
$SV\to AV$	$(B,h,S,S)\times (B,h,S,d_{\text{head}})$	$2,B{S}^2{d}_{\text{model}}$
$AV\cdot W_O$	$(B,S,d_{\text{model}})\times (d_{\text{model}},d_{\text{model}})$	$2,BS,d_{\text{model}}^2$

因此，总的 FLOPS 为：

$$8,BS,d_{\text{model}}^2+4,B{S}^2{d}_{\text{model}}$$

需保存的激活值：

Tensor	shape	num
$X$	$(B,S,d_{\text{model}})$	$BS,d_{\text{model}}$
$Q,K,V$	$(B,S,d_{\text{model}})$	$3,BS,d_{\text{model}}$
$S$	$(B,h,S,S)$	$Bh{S}^2$
$AV$	$(B,h,S,d_{\text{head}})$	$BS,d_{\text{model}}$

单卡backward

首先我们做 $W_O$ 的反向：

$$\begin{array}{rlr}L{W}_O& =(AV{)}^T\cdot LO(d_{\text{model}},S,B)\times (B,S,d_{\text{model}})LAV& =LO\cdot W_O^T(B,S,d_{\text{model}})\times (d_{\text{model}},d_{\text{model}})\end{array}$$

加起来是 $4,BS,d_{\text{model}}^2$

然后我们回到 $AV$：

$$\begin{array}{rlr}LS& =LAV\cdot V^T(B,h,S,d_{\text{head}})\times (B,h,d_{\text{head}},S)LV& =S^T\cdot LAV(B,h,S,S)\times (B,h,S,d_{\text{head}})\end{array}$$

这一步的 FLOPS 为 $4,B{S}^2{d}_{\text{model}}$。

然后经过 Softmax 反向， FLOPS 可以忽略，然后计算 Q, K ， FLOPS 为 $4,B{S}^2{d}_{\text{model}}$。

之后对 $W$ 做反向，权重梯度和输入梯度均为 $2,BS,d_{\text{model}}^2$，共计为 12 。

因此，总反向 FLOPS 为：

$$16,BS,d_{\text{model}}^2+8,B{S}^2{d}_{\text{model}}$$

为前向的两倍，所以我们在这里也可以认为反向传播的 FLOPS 为前向的两倍。

TP

显然这时我们就可以完全将 head 分到多张卡上，所有的几乎均乘上一个 $\frac{1}{N}$ 即可。

但此时仍然需要注意的是，我们得到 O 之后仍然需要 all-reduce ，这与 mlp 是一样的。

先写到这里.